• Une synthèse du théorème d'Arrow, par Mickaël Mithra
• Présentation détaillée, par Ralph
• Un aperçu de la démonstration du théorème d'Arrow
• Pour approfondir la démonstration (en anglais)

Annexe 1: MyMithra a demandé à des démocrates "rationalistes" ce qu'ils pensaient du théorème d'Arrow :

Quand l' "Union Rationaliste" rejette la rationalité

Annexe 2 : Pourquoi vouloir mettre en oeuvre la "volonté générale" est identique à vouloir appliquer "2+2=5".

Dans le langage courant, les 3 hypothèses de non manipulabilité, d'unanimité et de non dictature sont implicites dans le concept de "volonté générale". Mais dans ce cas les choix collectifs ne sont pas transitifs: ils sont donc incohérents, c'est-à-dire que l'ensemble des choix collectifs est une proposition P contradictoire. (exemple: P = "La collectivité préfère strictement X à Y, Y à Z et Z à X"). Néanmoins, en démocratie, on considère qu'il existe au moins une proposition P satisfaisant aux 3 hypothèses et qui soit vraie. Mais comme P est contradictoire, P est donc en même temps fausse et sa négation nP est donc vraie aussi.

Appelons A la proposition "2+2=5".
Nous savons que pour toute proposition a, si p est vraie, alors (p ou a) est vraie.
Mais si p est une proposition vraie et fausse, alors  nP est vraie aussi.
Donc p est fausse donc (p ou a) est vraie implique: a est vraie.
Ceci est valable en particulier pour A et P.
Donc, si on cherche à appliquer un choix collectif P, son contenu étant considéré comme vrai (par hypothèse démocratique), comme il est également faux (puisqu'incohérent),
alors cela revient à considérer comme vraie n'importe quelle proposition, en particulier A: "2+2 = 5".

Ainsi, l'idée de la démocratie est bien d'appliquer le principe suivant : "2+2 = 5".

Annexe 3: Des critiques de mon interprétation du théorème d'Arrow et mes réponses:

Ici

Kenneth Arrow

L'apport de Kenneth Arrow, à la pensée libérale et à la théorie de l'organisation, concerne essentiellement son intérêt à la notion de l'apprentissage, de connaissance et de la confiance qu'il introduit dans son article de 1974. Les firmes disposent de cette faculté de fournir à leurs membres un langage commun ou un code. Kenneth Arrow a examiné le rôle des codes propres à l'entreprise. Il a noté que l'apprentissage des canaux d'information au sein d'une entreprise et les codes de transmission de l'information ont une valeur de compétence uniquement en interne. L'apprentissage d'un code par une personne physique est un acte d'investissement personnel qui constitue également une accumulation de capital pour l'organisation.

Le partage de la valeur confiance dans une société agit comme un « lubrifiant social » qui a des effets sur la performance. Son travail permet de comprendre également l'évolution des entreprises, non pas vue comme un effet mécanique et subissant des ordres hiérarchiques mais découlant d'un processus naturel et culturel.

Kenneth Arrow appartient au courant dominant de l'école néo-classique avec une défense absolue de l'individualisme méthodologique :

Le théorème d'Arrow

Dans sa thèse Choix social et valeurs individuelles (1951), Arrow généralise un résultat déjà obtenu par Condorcet en montrant qu'il est impossible de définir l'intérêt général à partir des choix individuels. On ne peut définir de façon cohérente une préférence collective en agrégeant des préférences individuelles. Les décisions d'un état (même démocratique) ne peuvent donc pas être légitimes. Ce "théorème d'impossibilité" s'énonce ainsi (en simplifiant, car il s'agit d'un théorème mathématique de théorie des ensembles qui réclame une démonstration élaborée) :

Il n'existe pas de fonction de choix social (un système de vote) qui puisse convertir des préférences individuelles en une décision agrégée cohérente, hormis dans le cas où la fonction de choix social coïncide avec les choix d'un seul individu ("dictateur"), indépendamment du reste de la population.

Plus précisément, étant données les hypothèses suivantes :

• 1a. hypothèse de rationalité : si un individu préfère une option A à une option B, la présence d'une troisième option C ne doit pas intervertir cette préférence (en particulier, il y a transitivité : si B est préféré à C et C est préféré à A, il est impossible que A soit préféré à B) ;
• 1b. hypothèse d'anonymat (invariance par permutation) : le choix collectif ne dépend pas de qui émet une préférence individuelle ;
• 2. universalité : il existe toujours un choix collectif, quelles que soient les préférences de chaque individu (pas de restriction sur les préférences individuelles) ;
• 3. unanimité (principe de Pareto, ou "non-masochisme du groupe") : lorsqu'une certaine option est préférée par tous à une certaine autre, la fonction de choix social associe cette même préférence à la société ;
• 4. indépendance des options non-pertinentes (impossibilité de "manipulation") : le classement relatif de deux options ne doit dépendre que de leur position relative pour les individus et non du classement d'options tierces ;
• 5. non-dictature : il n'existe aucun individu ("dictateur") pour lequel la liste de ses choix personnels coïncide avec le choix collectif, quelles que soient les préférences des autres.

le théorème d'Arrow affirme alors qu'il est impossible de satisfaire en même temps aux 5 conditions : si les 4 premières sont satisfaites, la 5ème ne l'est pas.

La conséquence de ce théorème est que la prétention de la démocratie (qu'elle soit directe ou représentative) à exprimer une "volonté générale" est une imposture : la "volonté générale" n'existe pas, et les politiciens n'obéissent qu'à leur intérêt particulier. On ne peut non plus affirmer que la démocratie soit systématiquement, et par nature, meilleure que la dictature (car il peut y avoir des "despotes éclairés" aussi bien que des "démocrates totalitaires").

Ce théorème confirme ce qu'on peut comprendre intuitivement assez facilement : si Pierre préfère A, Paul préfère B et Jean préfère C, il ne peut y avoir de "choix collectif" de Pierre, Paul et Jean. La règle de la majorité n'est qu'une règle qui ne peut définir un choix collectif légitime. Tocqueville l'expliquait déjà :

"Qu'est-ce donc une majorité prise collectivement sinon un individu qui a des opinions et le plus souvent des intérêts contraires à un autre individu qu'on nomme la minorité ? Or, si vous admettez qu'un homme revêtu de la toute-puissance peut en abuser contre ses adversaires, pourquoi n'admettez-vous pas la même chose pour une majorité ?" (De la Démocratie en Amérique)

Henri Lepage souligne le fait paradoxal que ce théorème, apparemment en faveur des thèses libérales, peut être invoqué pour justifier l'existence d'une élite qui décide au nom de l'intérêt général, puisque cet intérêt ne saurait être défini à partir de l'agrégation des intérêts individuels :

Le "paradoxe d'Arrow" a pour résultat de conforter l'idéologie libérale : il jette d'emblée une suspicion sur tout ce qui vient de l’État, puisqu'il démontre que la véritable démocratie n'existe pas et ne peut pas exister. C'est une arme contre toutes les idéologies "étatisantes". Mais il a aussi un effet exactement inverse : celui de légitimer l'existence d'une élite particulière détentrice de "l'intérêt général" ; et donc, de nous prédisposer à tomber dans le piège qui consiste à voir dans les individus qui font l'Etat (ses élus, ses ministres, ses fonctionnaires) d'abord les agents de l'intérêt général, avant de voir les hommes eux-mêmes et les règles qui conditionnent leur comportement. Malgré la défiance qu'il suggère à l'encontre de toute solution étatique, l'une des conséquences du "paradoxe d'Arrow" est de nous conduire à une acceptation trop passive des processus modernes d'extension du phénomène étatique. (Henri Lepage, Demain le capitalisme, 1978)

Voir aussi : théorème de l’électeur médian, loi d'airain de l'oligarchie.

Preuve du théorème d'Arrow

Soit I l'ensemble de la population et A l'ensemble des choix possibles A = (a,b) . J est une partie décisive pour (a,b) si pour tout élément i de J ( groupe de personne ou individu ) si i préfère a à b alors globalement a est préféré a b).

Soit J partie décisive minimal et j appartenant à J et une situation de Condorcet. z appartenant à A.

j : a préféré à z et z préféré à b.

J privé de j : b préféré à a et a préféré à z

I privé de J : z préféré à b préféré à a

Alors on a a préféré à z car J décisive mais b n'est pas préféré à a car sinon J privé de j serait décisive et J ne serait pas minimal. D’où a préféré à b et a préféré à z or la relation de préférence individuelle de l'individu i est un pré-ordre ( i.e réflexive et transitive) et b préféré à z est impossible d’où z préféré à b. Au final, on a a préféré à z et z préféré à b qui sont les préférences de j. On obtient une situation de procédure dictatoriale.

• 3Notes et références
• 4Œuvres
• 5Littérature secondaire
• 6Voir aussi